지수와 로그는 왜 사용하게 되었을까?

지수와 로그는 왜 사용하게 되었을까?

 

 

1. 천문학자의 수명을 두 배로 늘린 발명

여러분은 계산기 없이 789,456 × 234,567을 계산하는데 얼마나 걸릴까요? 아마 종이 한 장 가득 계산을 해야 할 것이고, 실수할 가능성도 매우 높을 겁니다. 그런데 17세기 천문학자들은 이것보다 훨씬 더 큰 숫자들, 그것도 수십 자리가 넘는 천문학적인 숫자들을 매일같이 계산해야 했습니다. 별의 거리, 행성의 궤도, 일식과 월식의 시간을 예측하려면 말이죠.

당시 프랑스의 수학자 라플라스는 놀라운 말을 남겼습니다. “로그의 발명으로 천문학자들의 수명이 두 배가 되었다”라고 말입니다. 이게 무슨 말일까요? 실제로 천문학자들이 더 오래 살게 되었다는 뜻일까요? 아닙니다. 로그를 이용하면 수 달간 걸리던 계산을 며칠 만에 끝낼 수 있게 되었기 때문에, 마치 수명이 두 배로 늘어난 것처럼 더 많은 연구를 할 수 있게 되었다는 뜻이었습니다.

2. 17세기 과학자들의 절박한 계산 문제

1600년대 초, 망원경이 발명되면서 천문학은 급격히 발전하기 시작했습니다. 갈릴레이가 목성의 위성을 발견하고, 케플러가 행성의 운동 법칙을 밝혀내던 시대였죠. 그런데 문제가 있었습니다. 관측 기술은 발달했는데, 계산 방법은 여전히 원시적이었던 것입니다.

특히 항해술에서 이 문제는 생명과 직결되었습니다. 대항해시대에 선박이 바다 한가운데서 자신의 위치를 알아내려면 별의 위치를 관측하고 복잡한 삼각법 계산을 해야 했는데, 이 계산이 조금만 틀려도 배는 암초에 부딪히거나 항로를 잃어버릴 수 있었습니다. 실제로 계산 실수로 인한 해난 사고가 빈번했고, 수많은 선원들이 목숨을 잃었습니다.

이러한 시대적 요구 속에서 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어는 20년이라는 긴 세월 동안 혁명적인 계산 도구를 개발하게 됩니다. 그것이 바로 우리가 오늘날 알고 있는 로그였습니다.

3. 존 네이피어가 만들어낸 혁명적인 해결책

네이피어는 머키스턴 성의 영주이자 수학자였습니다. 그는 1594년부터 1614년까지 무려 20년 동안 한 가지 문제에 매달렸습니다. “어떻게 하면 복잡한 곱셈을 간단한 덧셈으로 바꿀 수 있을까?” 이 단순해 보이는 질문이 수학사를 바꿔놓았습니다.

네이피어의 아이디어는 정말 기발했습니다. 그는 두 개의 수열을 만들어 대응시켰습니다. 한쪽은 1, 2, 4, 8, 16처럼 2배씩 커지는 등비수열이고, 다른 한쪽은 0, 1, 2, 3, 4처럼 1씩 커지는 등차수열이었습니다. 그리고 놀라운 사실을 발견했죠. 왼쪽 수들을 곱하는 것이 오른쪽 수들을 더하는 것과 같다는 것을 말입니다.

예를 들어 8 × 16을 계산하고 싶다면, 8은 2³이므로 3에 대응하고, 16은 2⁴이므로 4에 대응합니다. 3 + 4 = 7이고, 7은 2⁷ = 128에 대응합니다. 따라서 8 × 16 = 128이 됩니다. 이렇게 복잡한 곱셈이 간단한 덧셈으로 바뀐 것입니다.

1614년 네이피어는 ‘로그에 관한 놀랄만한 법칙에 대한 기술’이라는 책을 발표했고, 이 책은 유럽 전체에 센세이션을 일으켰습니다. 영국의 수학자 헨리 브리그스는 이 소식을 듣자마자 에든버러까지 달려가 네이피어를 만났고, 함께 더 실용적인 상용로그(밑이 10인 로그)를 개발했습니다.

4. 지수 – 기하급수적 변화를 표현하는 언어

지수와 로그의 관계를 이해하려면 먼저 지수가 무엇인지 알아야 합니다. 여러분이 종이 한 장을 반으로 접는다고 상상해보세요. 한 번 접으면 2겹, 두 번 접으면 4겹, 세 번 접으면 8겹이 됩니다. 이렇게 매번 2배씩 늘어나는 것을 우리는 2¹, 2², 2³으로 표현합니다. 이것이 바로 지수입니다.

놀라운 사실은 이 간단한 원리가 우리 주변 곳곳에 숨어있다는 것입니다. 세포 분열도 지수적으로 일어나고, 음악에서 옥타브도 지수 관계를 따릅니다. 피아노 건반에서 ‘도’와 한 옥타브 위의 ‘도’ 사이의 주파수는 정확히 2배 차이가 나죠. 이것이 음악이 수학적으로 아름다운 이유 중 하나입니다.

자연현상 중에는 시간에 따라 기하급수적으로 증가하거나 감소하는 것들이 정말 많습니다. 인구 증가, 방사성 원소의 붕괴, 냉각 과정, 심지어 소문이 퍼지는 속도까지도 지수함수를 따릅니다. 이러한 현상을 수학적으로 표현하고 예측하려면 지수가 꼭 필요한 것입니다.

5. 복리 이자부터 바이러스까지 – 지수의 실생활 활용

은행에 돈을 예금하면 이자가 붙는다는 것은 누구나 알고 있습니다. 그런데 복리 이자가 왜 무서운지 아시나요? 원금 100만원을 연 5% 복리로 저축한다고 가정해봅시다. 1년 후에는 105만원, 2년 후에는 110.25만원이 됩니다. 별것 아닌 것 같죠? 하지만 50년이 지나면 약 1,147만원이 됩니다. 원금의 11배가 넘는 돈이 되는 것입니다.

이것을 수식으로 표현하면 원리합계 = 원금 × (1 + 이율)^기간이 됩니다. 바로 지수함수인 것입니다. 알버트 아인슈타인이 “복리는 세계 8대 불가사의”라고 말한 이유가 여기에 있습니다.

더 무서운 예는 바이러스의 증식입니다. 코로나19 팬데믹을 겪으면서 우리는 ‘기하급수적 증가’라는 말을 수없이 들었습니다. 한 사람이 평균 2명에게 전염시킨다면, 10단계만 거쳐도 2¹⁰ = 1,024명이 감염됩니다. 20단계면 백만 명이 넘습니다. 이것이 초기 방역이 중요한 이유입니다.

맬서스는 1798년에 “인구는 기하급수적으로 늘어나는데 식량 생산은 산술급수적으로 늘어난다”고 경고했습니다. 다행히 농업 기술의 발전으로 그의 예언은 빗나갔지만, 지수와 로그가 인구 문제를 이해하는 핵심 도구라는 사실은 변하지 않았습니다.

방사성 원소의 반감기도 지수함수를 따릅니다. 플루토늄-239의 반감기는 24,100년입니다. 즉 2g의 플루토늄이 1g이 되는데 24,100년이 걸린다는 뜻입니다. 이것을 계산하려면 지수함수가 필수적입니다. 원자력 발전소나 핵무기를 다루는 과학자들에게 이 계산은 생명과 직결된 문제입니다.

6. 로그가 거대한 숫자를 길들이는 방법

지수와 로그는 서로 역함수 관계입니다. 지수가 작은 수를 크게 만든다면, 로그는 큰 수를 작게 만듭니다. 10¹⁰⁰이라는 숫자를 상상해보세요. 구골이라고 불리는 이 숫자는 우주에 있는 원자의 개수보다도 많습니다. 하지만 로그를 취하면 log(10¹⁰⁰) = 100이 됩니다. 상상조차 힘든 숫자가 단순한 100이 된 것입니다.

이러한 로그의 특성 덕분에 우리는 극단적으로 다른 크기의 것들을 비교할 수 있게 되었습니다. 예를 들어 박테리아의 크기(10⁻⁶m)부터 태양계의 크기(10¹³m)까지를 한 그래프에 표현하려면 로그 스케일을 사용해야 합니다. 일반 스케일로는 박테리아가 보이지도 않을 정도로 작게 그려지기 때문입니다.

과학자들이 로그를 사랑하는 또 다른 이유는 곱셈을 덧셈으로, 제곱을 곱셈으로 바꿔주기 때문입니다. log(a×b) = log(a) + log(b)이고, log(aⁿ) = n×log(a)입니다. 이 간단한 성질이 복잡한 계산을 놀랍도록 단순하게 만들어줍니다.

7. 소리, 지진, 산성도 – 우리 주변의 로그

일상생활에서 로그를 가장 자주 접하는 곳은 아마도 소음 측정일 것입니다. 데시벨(dB)이라는 단위를 들어보셨죠? 조용한 도서관이 40dB, 일상 대화가 60dB, 록 콘서트가 110dB 정도입니다. 그런데 60dB이 40dB보다 겨우 1.5배 시끄러운 게 아닙니다. 실제로는 100배 더 시끄럽습니다.

데시벨은 로그 스케일을 사용하기 때문입니다. 10dB이 증가할 때마다 소리의 실제 세기는 10배씩 증가합니다. 우리 귀가 느끼는 소리의 크기가 실제 음압의 로그에 비례하기 때문에 이런 단위를 사용하는 것입니다. 만약 로그를 사용하지 않는다면, 속삭임을 1로 했을 때 비행기 엔진 소리는 1조가 넘는 숫자로 표현해야 할 것입니다.

지진의 규모를 나타내는 리히터 규모도 로그를 사용합니다. 규모 5.0 지진과 6.0 지진의 차이는 단순히 20% 더 강한 것이 아니라, 지진파의 진폭이 10배, 방출 에너지는 약 32배 차이가 납니다. 2011년 동일본 대지진(규모 9.0)은 보통 지진(규모 5.0)보다 100만 배나 강력한 에너지를 방출했습니다.

산성도를 나타내는 pH도 지수와 로그의 관계를 이용합니다. pH 7이 중성이고, pH 4인 산성비는 중성보다 수소 이온 농도가 1,000배 높습니다. pH가 1 감소할 때마다 산성도는 10배씩 강해지는 것입니다. 그래서 pH 2인 위산이 pH 4인 토마토 주스보다 100배나 더 산성이 강한 것입니다.

별의 밝기를 나타내는 등급도 로그 스케일입니다. 1등성이 6등성보다 100배 밝습니다. 우리 눈이 느끼는 밝기가 실제 광량의 로그에 비례하기 때문에, 천문학자들은 2000년 전 그리스 시대부터 자연스럽게 로그 스케일을 사용해왔던 것입니다.

8. 컴퓨터 시대에도 여전히 중요한 이유

“요즘은 컴퓨터가 다 계산해주는데 지수와 로그를 왜 배워야 하나요?” 많은 학생들이 하는 질문입니다. 하지만 컴퓨터 시대가 되면서 오히려 로그는 더 중요해졌습니다.

구글의 페이지랭크 알고리즘, 유튜브의 추천 시스템, 인공지능의 학습 과정 모두 로그를 사용합니다. 빅데이터를 다룰 때도 로그 스케일은 필수입니다. 1부터 10억까지의 데이터를 시각화하려면 로그 스케일 없이는 불가능합니다.

정보 이론에서 정보량을 측정하는 단위인 비트(bit)도 로그로 정의됩니다. 암호화 기술에서 보안 강도를 측정할 때도 로그를 사용합니다. 128비트 암호는 64비트 암호보다 2⁶⁴배, 즉 1,800경 배나 더 안전합니다.

주식시장에서도 로그는 중요합니다. 주가가 100원에서 200원이 되는 것과 10,000원에서 10,100원이 되는 것은 절대 금액은 같지만 수익률은 완전히 다릅니다. 그래서 금융 전문가들은 로그 수익률을 사용해 투자 성과를 분석합니다.

머신러닝과 딥러닝에서도 지수와 로그는 핵심입니다. 신경망의 활성화 함수, 손실 함수, 최적화 알고리즘 모두 지수와 로그를 사용합니다. 특히 자연로그의 밑 e는 미분했을 때 자기 자신이 나오는 특성 때문에 인공지능 분야에서 없어서는 안 될 존재가 되었습니다.